log積分是什麼、為什麼、哪裡用、怎麼算、如何應用等詳解

【log積分】是什麼？

「log積分」這個詞可以指代兩種不同但相關的數學概念：

• log(x) 的不定積分： 指的是函數 $f(x)=\log (x)$ 的反導函數，也就是計算 $\int \log (x)dx$。這裡的 $\log (x)$ 通常指的是自然對數 $\ln (x)$。
• 對數積分函數 (Logarithmic Integral Function)： 這是一個特殊的數學函數，通常記作 $\mathrm{Li}(x)$ 或 $\mathrm{li}(x)$。它的定義是一個定積分：$\mathrm{Li}(x)=\int \frac{dt}{\log (t)}$，積分的下限通常取為 2。這個函數在數論中具有重要的應用。

本文將主要圍繞這兩種含義展開討論，但會更側重於後者，因為它在應用中有更特殊的地位。

【log積分】(log(x) 的不定積分) 怎麼算？

計算 $\int \log (x)dx$ 最標準的方法是使用分部積分法 (Integration by Parts)。分部積分的公式是：$\int udv=uv-\int vdu$。

步驟如下：

1. 選擇 u 和 dv：
   • 令 $u=\log (x)$ (因為 log(x) 的導數比它本身更容易處理)。
   • 令 dv=dx (這是剩下的一部分)。
2. 計算 du 和 v：
   • 對 u 求導得到 $du=\frac{1}{x}dx$。
   • 對 dv 求積分得到 v=∫dx=x (這裡不需要加積分常數 C，最後再加)。
3. 應用分部積分公式：
   
   $$\int \log (x)dx=uv-\int vdu$$
   $$=\log (x)\cdot x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx$$
   $$=x\log (x)-\int 1dx$$
4. 計算最後的積分：
   
   $$\int 1dx=x+C$$
5. 得到最終結果：
   
   $$\int \log (x)dx=x\log (x)-x+C$$
   (這裡的 C 是積分常數)。

這個結果在處理涉及對數函數的積分問題時非常基礎和常用。

【log積分】(對數積分函數 Li(x)) 為什麼重要？

對數積分函數 $\mathrm{Li}(x)$ 的重要性主要體現在數論中，特別是與素數（質數）的分布有關。

• 素數定理 (Prime Number Theorem)： 這是 $\mathrm{Li}(x)$ 最重要的應用。素數定理描述了小於或等於任意給定實數 x 的素數個數 $\pi (x)$ 的漸近分布。
  定理指出，當 x 趨向無窮大時，$\pi (x)$ 近似於 $x/\log (x)$。然而，$\mathrm{Li}(x)$ 提供了對 $\pi (x)$ 更好的近似。更精確的素數定理表述是：
  $$\pi (x)\sim \mathrm{Li}(x)$$
  其中 ∼ 表示當 $x\to \mathrm{\infty }$ 時，兩者的比值趨向於 1。這意味著 $\mathrm{Li}(x)$ 是預測素數分布的一個核心函數。
• 比 $x/\log (x)$ 更好的近似： 雖然 $x/\log (x)$ 是對 $\pi (x)$ 的第一個重要估計，但對於較大的 x 值，$\mathrm{Li}(x)$ 通常更接近 $\pi (x)$ 的真實值。這是因為 $\mathrm{Li}(x)$ 可以通過級數展開包含更多項，提供了更精確的漸近行為。

因此，$\mathrm{Li}(x)$ 是理解素數在大整數範圍內如何分布的基石之一。

【log積分】(對數積分函數 Li(x)) 哪裡用？

對數積分函數 $\mathrm{Li}(x)$ 主要應用於以下領域：

• 數論：
  • 素數分布的研究： 正如前面提到的，它是素數定理的核心組成部分，用於估計小於特定數值的素數個數。這是其最主要的應用領域。
  • 黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 相關研究： 黎曼猜想是關於素數分布的一個重要猜想，涉及到黎曼 Zeta 函數的非平凡零點。素數計數函數 $\pi (x)$ 與 $\mathrm{Li}(x)$ 的關係，以及 $\pi (x)-\mathrm{Li}(x)$ 這個誤差項的大小，與黎曼猜想密切相關。
• 物理學：
  • 在量子力學、統計物理學、甚至光學（如夫琅禾費衍射的一些問題）中，有時會遇到與指數積分函數 (Exponential Integral function, Ei(x)) 相關的積分。由於對數積分函數與指數積分函數之間存在密切關係（$\mathrm{Li}(x)=\mathrm{Ei}(\log (x))$ 對於 $x>1$），因此 $\mathrm{Li}(x)$ 也會在這些領域的特定計算中出現。
• 概率論與統計學：
  • 在某些涉及到事件發生率與時間或規模對數相關的模型中，可能會遇到對數積分函數。例如，在某些極值理論或隨機過程中。

總的來說，雖然 log(x) 的不定積分在基礎微積分中常見，但特指的「對數積分函數 Li(x)」則是在需要精確描述與對數衰減或增長相關的累積過程時（尤其是素數分布）才會頻繁出現。

【log積分】(對數積分函數 Li(x)) 如何工作？

對數積分函數 $\mathrm{Li}(x)$ 是通過一個定積分定義的，但由於被積函數 $1/\log (t)$ 在 $t=1$ 處有奇點（因為 $\log (1)=0$），它的定義需要小心處理。

積分的定義與奇點處理：

最原始的定義是 $\mathrm{Li}(x)=\int \frac{dt}{\log (t)}$。

對於 $x>1$ 的情況，如果積分下限取一個小於 1 的值或 0，積分會通過奇點 $t=1$，導致積分發散。標準的處理方法有兩種：

• 偏移對數積分函數 $\mathrm{li}(x)$ 或記作 $\mathrm{Li}(x)$ (使用下限 2)：
  
  $$\mathrm{li}(x)=\int {}_2^x\frac{dt}{\log (t)}\text{for}x>1$$
  選擇下限 2 是因為對於 $t⩾2$，$\log (t)$ 是正數且不為零，積分是收斂的。這個定義通常用於與素數定理相關的語境。
• 主值 (Principal Value) 定義的 $\mathrm{Li}(x)$：
  
  對於包含奇點 $t=1$ 的積分路徑（例如從 0 或其他值積到 x），可以使用 Cauchy 主值來定義積分：
  
  $$\mathrm{Li}(x)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}(\int {}_0^{1-ϵ}\frac{dt}{\log (t)}+\int {}_{1+ϵ}^x\frac{dt}{\log (t)})\text{for}x>0,x\ne 1$$
  這個定義在 $x=1$ 處有一個垂直漸近線。它與偏移定義 $\mathrm{li}(x)$ 之間差一個常數：$\mathrm{Li}(x)=\mathrm{li}(x)+\mathrm{li}(2)$。為了避免混淆，有時將偏移定義記作 $\mathrm{li}(x)$，而將主值定義記作 $\mathrm{Li}(x)$。在涉及素數定理時，通常使用的是下限為 2 的 $\mathrm{li}(x)$。

計算與近似方法：

$1/\log (t)$ 的不定積分不能用初等函數表示，因此 $\mathrm{Li}(x)$ 是一個特殊的數學函數。計算其值通常需要使用：

• 級數展開： $\mathrm{Li}(x)$ 與指數積分函數 $\mathrm{Ei}(x)$ 密切相關 ($\mathrm{Li}(x)=\mathrm{Ei}(\log (x))$)。指數積分函數有一個常用的級數展開，由此可以得到 $\mathrm{Li}(x)$ 的級數表示，特別是對於大的 x 值，可以使用漸近展開：
  
  $$\mathrm{Li}(x)\sim \frac{x}{\log (x)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{{\log }^k(x)}=\frac{x}{\log (x)}(1+\frac{1}{\log (x)}+\frac{2}{{\log }^2(x)}+\frac{6}{{\log }^3(x)}+\cdots )$$
  這個級數對於固定的 x 實際上是發散的，但可以用來在項數較少時提供非常好的近似（漸近級數）。
• 數值積分： 對於特定的 x 值，可以使用梯形法則、辛普森法則等數值方法來近似計算定積分 $\int {}_2^x\frac{dt}{\log (t)}$。
• 函數庫： 大多數科學計算軟件和編程語言的數學庫中都包含了對數積分函數 $\mathrm{Li}(x)$ 或 $\mathrm{Ei}(x)$ 的實現，可以直接調用計算。

與素數計數函數 π(x) 的關係：

$\mathrm{Li}(x)$ 作為 $\pi (x)$ 的近似，其工作原理基於概率論的直覺。根據素數定理的早期思想，一個數 t 是素數的“概率”大約與 $1/\log (t)$ 成正比。那麼，從 2 到 x 的素數總數，就可以大致看作是這個“概率密度函數”在該區間上的積分，即 $\int {}_2^x\frac{dt}{\log (t)}$。這是 $\mathrm{Li}(x)$ 作為 $\pi (x)$ 良好近似背後的直觀解釋，儘管嚴格證明需要更深入的數論工具。

【log積分】(對數積分函數 Li(x)) 有多少？ (近似值)

「有多少」這個問題對於函數來說，通常是指在給定的輸入 x 時，函數輸出的值。由於 $\mathrm{Li}(x)$ 在數論中用於近似 $\pi (x)$（小於等於 x 的素數個數），我們可以通過比較 $\mathrm{Li}(x)$ 與 $\pi (x)$ 的值來感受 $\mathrm{Li}(x)$ 的數量級和近似精度。

下表列出了一些 x 值對應的 $\pi (x)$ 和 $\mathrm{Li}(x)$ (使用下限為 2 的 $\mathrm{li}(x)$ 版本) 的近似值：

注意： Li(x) 的值是近似計算得到的，π(x) 是精確的計數值。

x	π(x) (小於等於 x 的素數個數)	Li(x) (近似值)	Li(x) – π(x) (誤差)	x/log(x) (簡單近似)
103 (1,000)	168	177.6	+9.6	144.8
106 (1,000,000)	78,498	78,627.5	+129.5	72,382.4
109 (1,000,000,000)	50,847,534	50,849,234	+1,700	48,254,942
1012 (1012)	37,607,912,018	37,607,950,279	+38,261	36,191,206,825
1015 (1015)	29,844,570,422,669	29,844,571,475,420	+1,052,751	28,952,965,460,216
1018 (1018)	24,739,954,287,740,860	24,739,954,309,690,410	+21,949,550	24,108,130,901,698,048

從表中可以看出：

• 隨著 x 增大，$\pi (x)$ 和 $\mathrm{Li}(x)$ 的值都迅速增長。
• $\mathrm{Li}(x)$ 對 $\pi (x)$ 的近似比簡單的 $x/\log (x)$ 要好得多，特別是對於較大的 x。
• 儘管誤差 $\mathrm{Li}(x)-\pi (x)$ 的絕對值隨著 x 增大而增大，但相對於 $\pi (x)$ 本身，這個誤差的比例是趨向於零的，這正是漸近等價的含義。

這些數值展示了 $\mathrm{Li}(x)$ 在估計巨大數值範圍內的素數數量上的強大能力。

【log積分】(對數積分函數 Li(x)) 如何應用？

對數積分函數 $\mathrm{Li}(x)$ 的應用主要體現在其作為特定數學問題（尤其是數論中的素數分布問題）的數學模型或近似工具：

• 精確估計素數數量： 當我們需要知道在一個非常大的數 x 以下大約有多少個素數時，$\mathrm{Li}(x)$ 提供了最佳的已知近似。這比僅僅使用 $x/\log (x)$ 更準確。這在需要處理大素數的密碼學、計算數論等領域可能間接相關。
• 研究素數定理誤差項： $\mathrm{Li}(x)-\pi (x)$ 這個誤差項的大小和行為是數論研究的重點。研究這個誤差項有助於理解素數分布更深層次的結構，並與黎曼猜想等核心問題相聯繫。例如，黎曼猜想等價於一個關於這個誤差項上界的特定論述。
• 構造其他數論函數： 一些其他數論函數的定義或性質可能與 $\mathrm{Li}(x)$ 相關。
• 作為特殊函數出現在應用模型中： 在前面提到的物理學或概率學的特定模型中，當數學推導自然導致積分形式為 $\int \frac{dt}{\log (t)}$ 或其變體時，$\mathrm{Li}(x)$ 就作為解的一部分出現。這時，它的應用就是作為描述系統行為或結果的數學函數。

簡單來說，log(x) 的不定積分是一個基礎積分公式的應用，而對數積分函數 $\mathrm{Li}(x)$ 主要應用於需要精確描述那些累積率與其對數的倒數成比例的現象，其中最著名和重要的就是素數的分布。