引言
在信号处理、通信、光学等众多工程与科学领域中，sinc函数（正弦采样函数）扮演着极其重要的角色。它的特殊之处不仅在于其独特的“振荡衰减”形状，更在于其在频域中的对应关系。sinc函数的傅里叶变换是一个形状极为简单的函数——矩形函数（或称门函数）。这一对变换关系是傅里叶分析中最基本、最核心也是最有用的变换对之一。本文将围绕sinc函数的傅里叶变换，深入探讨“是什么”、“为什么”、“如何计算”、“哪里应用”以及相关的重要性质。
【是什么】Sinc函数及其傅里叶变换的定义
Sinc函数的定义
sinc函数通常有两种常见的定义方式：
- 归一化sinc函数： 定义为 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。这种定义在信号处理中非常普遍，因为它在 $x=0$ 处的值为 1，且其零点恰好在非零整数位置（即 $x = \pm 1, \pm 2, \dots$）。
- 非归一化sinc函数： 定义为 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$。这种定义在数学领域，如微积分、傅里叶级数中也经常出现，其零点在非零的 $\pi$ 的整数倍位置（即 $x = \pm \pi, \pm 2\pi, \dots$）。
在本文后续的傅里叶变换讨论中，如无特别说明，我们将主要采用归一化sinc函数的定义 $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$，因为它与信号处理中常用的矩形脉冲频谱形状直接对应。
Sinc函数的傅里叶变换结果
对于归一化sinc函数 $f(t) = \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$，其傅里叶变换 $F(\omega)$ 或 $F(f)$ （取决于频率变量的约定）是一个矩形函数。如果使用角频率 $\omega$ 且傅里叶变换定义为 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$，那么：
$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \mathcal{F}\left\{\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right\} = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$
其中，矩形函数 $\text{rect}(u)$ 的定义是：
$ \text{rect}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } |u| \le 1/2 \\ 0 & \text{if } |u| > 1/2 \end{cases} $
所以，$\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$ 意味着当 $|\frac{\omega}{2\pi}| \le 1/2$，即 $|\omega| \le \pi$ 时，值为 1；当 $|\omega| > \pi$ 时，值为 0。因此，归一化sinc函数的傅里叶变换在角频率 $\omega \in [-\pi, \pi]$ 范围内是常数 1，其他地方为 0。这是一个带宽为 $2\pi$ 的理想低通滤波器频谱。
如果使用频率 $f$ (Hz) 且傅里叶变换定义为 $F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi f t} dt$，那么：
$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \mathcal{F}\left\{\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right\} = \text{rect}\left(f\right)$
此时，$\text{rect}(f)$ 意味着当 $|f| \le 1/2$ 时，值为 1；当 $|f| > 1/2$ 时，值为 0。这是一个带宽为 1 Hz 的理想低通滤波器频谱。
本文后续的计算过程将采用角频率 $\omega$ 的定义，但结论很容易转换为频率 $f$ 的形式。
【为什么】为何是矩形函数？其意义何在？
为什么一个在时域上无限延伸、缓慢振荡衰减的sinc函数，在频域上却对应着一个简单、有限带宽的矩形函数？这种“时域无限 <=> 频域有限”的特性是理解sinc函数核心作用的关键。
理想低通滤波器的时域表示
一个在频域是理想矩形函数的滤波器，意味着它在某个频率范围（通带）内对所有频率分量完全通过，而在该范围之外（阻带）完全截止。这样的滤波器是一个理想低通滤波器。从傅里叶变换的定义可知，一个信号在频域的形状对应着其在时域的“构成”。而频域上的一个矩形频谱，恰好是时域sinc函数的特征。这表明，要实现一个能够完全“切断”特定频率以上所有成分的理想滤波器，其在时域上的响应（即冲激响应）必须是sinc函数。
傅里叶变换对的普遍特性
更普遍地，傅里叶变换具有一种“对偶性”或“不确定性”原理的体现：一个信号在时域上越是“集中”或“窄”，其在频域上就越是“分散”或“宽”；反之，一个信号在时域上越是“分散”或“宽”，其在频域上就越是“集中”或“窄”。sinc函数虽然主瓣（中央最高峰）集中，但其两侧的旁瓣无限延伸，使得它在时域上是一个“相对分散”的函数。而矩形函数在频域上则是完全“集中”在一个有限的带宽内。这一对恰好完美体现了傅里叶变换的这种对偶关系：一个在时域有界（非无限延伸）且形状简单的函数（如矩形脉冲）的傅里叶变换是无限延伸且复杂的（如sinc函数），而一个在频域有界且形状简单的函数（如矩形频谱）的逆傅里叶变换则是在时域无限延伸且复杂的（如sinc函数）。sinc函数与矩形函数的变换对是这一原理最经典、最简洁的例证。
【如何】Sinc函数傅里叶变换的计算过程
直接计算sinc函数的傅里叶变换积分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} e^{-j\omega t} dt$ 是相当复杂的，需要用到留数定理或频域微分性质等高级技巧。然而，利用傅里叶变换的对偶性，从更简单的矩形脉冲的傅里叶变换出发，可以更直观地得到sinc函数的傅里叶变换。
利用矩形脉冲的傅里叶变换（对偶性方法）
我们知道，一个宽度为 $\tau$、幅度为 $A$ 的矩形脉冲 $p_\tau(t) = A \cdot \text{rect}(t/\tau)$ 的傅里叶变换是：
$\mathcal{F}\left\{A \cdot \text{rect}(t/\tau)\right\} = A\tau \cdot \text{sinc}\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)$
其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。为了使用对偶性，我们需要考虑一个在时域是矩形脉冲，然后在频域得到sinc函数。这正是矩形函数的傅里叶变换所做的事情。
考虑一个宽度为 $2B$、幅度为 1 的矩形函数 $P(\omega)$ 在频域（以 $\omega$ 为变量）：
$P(\omega) = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2B}\right) = \begin{cases} 1 & \text{if } |\omega| \le B \\ 0 & \text{if } |\omega| > B \end{cases}$
这个函数在频域的逆傅里叶变换，就是它在时域对应的函数 $p(t)$：
$p(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{P(\omega)\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} P(\omega) e^{j\omega t} d\omega$
代入 $P(\omega)$ 的定义：
$p(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-B}^{B} (1) e^{j\omega t} d\omega$
计算积分：
$p(t) = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{j\omega t}}{jt} \right]_{-B}^{B} \quad (\text{假设 } t \ne 0)$
$p(t) = \frac{1}{2\pi jt} (e^{jBt} – e^{-jBt})$
$p(t) = \frac{1}{2\pi jt} (2j \sin(Bt))$
$p(t) = \frac{\sin(Bt)}{\pi t}$
对于 $t=0$ 的情况，我们可以直接对积分号内的函数在 $\omega=0$ 处求值（即 $e^{j\omega t}|_{\omega=0} = 1$），或者使用洛必达法则，或者直接对原始积分 $\frac{1}{2\pi} \int_{-B}^{B} 1 d\omega = \frac{1}{2\pi} [ \omega ]_{-B}^{B} = \frac{2B}{2\pi} = \frac{B}{\pi}$。使用 $\frac{\sin(Bt)}{\pi t}$ 在 $t \to 0$ 时的极限是 $\frac{B}{\pi}$，所以结果是连续的。
因此，一个在频域宽度为 $2B$、幅度为 1 的矩形脉冲 $\text{rect}\left(\frac{\omega}{2B}\right)$ 的逆傅里叶变换是 $\frac{\sin(Bt)}{\pi t}$。
现在，我们想要找到 $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ 的傅里叶变换。这与上面结果的形式 $\frac{\sin(Bt)}{\pi t}$ 非常相似，只需要令 $B = \pi$ 即可。
所以， $\mathcal{F}^{-1}\left\{\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\right\} = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = \text{sinc}(t)$。
根据傅里叶变换的对偶性原理：如果 $\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)$，那么 $\mathcal{F}\{F(t)\} = 2\pi f(-\omega)$（对于采用 $\frac{1}{2\pi}$ 作为逆变换系数的定义）。
在我们上面的推导中，我们得到了 $\mathcal{F}^{-1}\left\{\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\right\} = \text{sinc}(t)$。令 $f(t) = \text{sinc}(t)$ 且 $F(\omega) = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$，则此关系为 $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)$。
现在我们应用对偶性来求 $\mathcal{F}\{\text{sinc}(t)\}$，即求 $\mathcal{F}\{f(t)\}$。对偶性告诉我们 $\mathcal{F}\{F(t)\} = 2\pi f(-\omega)$。在这里，我们需要用 $t$ 替换 $F(\omega)$ 中的 $\omega$，得到 $F(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{2\pi}\right)$。
所以 $\mathcal{F}\left\{\text{rect}\left(\frac{t}{2\pi}\right)\right\} = 2\pi \cdot \text{sinc}(-\omega)$。由于 $\text{sinc}(x)$ 是一个偶函数 ($\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{\sin(\pi (-x))}{\pi (-x)}$)，所以 $\text{sinc}(-\omega) = \text{sinc}(\omega)$。因此，$\mathcal{F}\left\{\text{rect}\left(\frac{t}{2\pi}\right)\right\} = 2\pi \cdot \text{sinc}(\omega)$。
但这并不是我们最初的目标 $\mathcal{F}\{\text{sinc}(t)\}$。我们应该从 $\mathcal{F}^{-1}\left\{\text{rect}\left(\frac{\omega}{2B}\right)\right\} = \frac{\sin(Bt)}{\pi t}$ 这个结果出发。令 $B=\pi$，我们有 $\mathcal{F}^{-1}\left\{\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\right\} = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = \text{sinc}(t)$。
根据傅里叶变换的基本性质：如果 $\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)$，那么 $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)$。反过来也成立：如果 $\mathcal{F}^{-1}\{G(\omega)\} = g(t)$，那么 $\mathcal{F}\{g(t)\} = G(\omega)$。
我们将 $G(\omega) = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$ 和 $g(t) = \text{sinc}(t)$ 代入后一个关系，立即得到：
$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$
这正是我们期望的结果。这个方法避免了直接计算复杂的sinc函数积分，而是利用了更容易计算的矩形函数逆变换，再结合傅里叶变换与逆变换之间的基本关系得出。
【哪里】这一变换对的应用场景
sinc函数和矩形函数的傅里叶变换对在信号处理和相关领域中无处不在，是理解许多核心概念的基础。
理想低通滤波器
- 分析与理解： 正如前面所述，一个在频域为矩形的函数代表一个理想低通滤波器。其在时域的冲激响应就是sinc函数。这意味着一个理想低通滤波器会对输入信号进行一个与sinc函数进行的时域卷积操作。
- 实际限制： 由于sinc函数在时域是无限持续的，且在 $t=0$ 之前有非零值（非因果），理想低通滤波器在物理上是不可实现的。但理解这一理想模型是设计实际滤波器的基础，实际滤波器通过截断和加窗sinc函数来实现近似。
采样定理与信号重建
- 重建滤波器： 奈奎斯特-香农采样定理指出，一个带限信号如果以高于其最高频率两倍的速率采样，就可以从样本中完美重建。用于完美重建的理想插值函数正是sinc函数。通过将每个样本值乘以一个移位的sinc函数，并将所有结果叠加，可以恢复原始连续信号。这个重建过程在频域对应于用一个矩形滤波器（sinc函数在频域的对应）来“拾取”原始信号的频谱副本。
窗函数
- 频率泄露： 在对信号进行频谱分析时，常常需要截取有限长度的数据。这种截断操作在时域相当于将信号乘以一个矩形窗函数。根据傅里叶变换的卷积定理，时域的乘法对应于频域的卷积。因此，将信号乘以矩形窗，会导致信号原有的频谱与矩形窗的频谱（一个sinc函数）在频域发生卷积。矩形窗频谱的sinc形状导致了“频率泄露”现象，即信号在一个频率上的能量扩散到相邻频率上，影响频谱分析的准确性。理解矩形窗的sinc频谱有助于选择更合适的窗函数（如汉明窗、汉宁窗等），这些窗函数在时域的形状使得其频域旁瓣衰减更快，从而减少频率泄露。
光学中的衍射
- 单缝衍射： 在光学中，当单色光通过一个狭缝时，其远场（夫琅禾费）衍射图样是光场在狭缝处的空间分布的傅里叶变换的强度。如果狭缝是一个简单的矩形（宽度有限，高度无限近似），那么衍射图样在与狭缝宽度垂直的方向上就是一个sinc函数的平方（因为强度正比于光场振幅的平方）。这直接体现了矩形函数（狭缝形状）的傅里叶变换是sinc函数这一特性在物理中的应用。
【多少】Sinc函数宽度与频谱宽度的关系（缩放性质）
傅里叶变换有一个重要的缩放性质：如果 $\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)$，那么 $\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right)$。
这意味着，如果时域信号 $f(t)$ 被时间变量 $a$ 缩放（即 $f(at)$）：
- 如果 $|a| > 1$，信号在时域被“压缩”，持续时间变短。其频域频谱 $F(\omega/a)$ 则被“拉伸”，带宽变宽。
- 如果 $|a| < 1$，信号在时域被“拉伸”，持续时间变长。其频域频谱 $F(\omega/a)$ 则被“压缩”，带宽变窄。
这种时域与频域宽度成反比的关系在sinc函数与矩形函数的变换对中表现得淋漓尽致。我们已经知道 $\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$，其主瓣宽度（从第一个零点到第一个零点）是 2，而频域矩形的宽度是 $2\pi$。现在考虑缩放后的sinc函数 $\text{sinc}(at) = \frac{\sin(\pi at)}{\pi at}$。
根据缩放性质，其傅里叶变换为：
$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(at)\right\} = \frac{1}{|a|} \text{rect}\left(\frac{\omega/a}{2\pi}\right) = \frac{1}{|a|} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$
这里的 $\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$ 表示一个在角频率 $\omega$ 轴上，宽度为 $2\pi |a|$、中心在 0 的矩形函数，幅度为 $\frac{1}{|a|}$。
例如：
- 考虑 $\text{sinc}(2t) = \frac{\sin(2\pi t)}{2\pi t}$。这里的 $a=2$。$\text{sinc}(2t)$ 相较于 $\text{sinc}(t)$ 在时域上被压缩了（零点间隔变为 0.5）。其傅里叶变换是 $\frac{1}{2} \text{rect}\left(\frac{\omega}{4\pi}\right)$。这是一个幅度为 0.5、宽度为 $4\pi$ 的矩形。时域压缩导致频域展宽。
- 考虑 $\text{sinc}(t/2) = \frac{\sin(\pi t/2)}{\pi t/2}$。这里的 $a=1/2$。$\text{sinc}(t/2)$ 相较于 $\text{sinc}(t)$ 在时域上被拉伸了（零点间隔变为 4）。其傅里叶变换是 $\frac{1}{1/2} \text{rect}\left(\frac{\omega}{\pi}\right) = 2 \cdot \text{rect}\left(\frac{\omega}{\pi}\right)$。这是一个幅度为 2、宽度为 $\pi$ 的矩形。时域拉伸导致频域压缩。
这个性质清晰地表明，sinc函数在时域的“宽度”（例如主瓣宽度或零点间隔）与它在频域对应的矩形函数的“宽度”（带宽）是严格成反比的。这也是理解带宽与时域持续时间关系的基石之一。
【如何】不同Sinc定义及傅里叶变换约定的影响
前面我们主要使用了归一化sinc函数 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ 和一种常见的傅里叶变换约定 $F(\omega) = \int f(t) e^{-j\omega t} dt$。如果改变定义或约定，傅里叶变换的结果会有常数因子或频率变量的差别。
非归一化Sinc函数的影响
考虑非归一化sinc函数 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$。其零点在 $x = \pm \pi, \pm 2\pi, \dots$。我们想计算 $\mathcal{F}\left\{\frac{\sin(t)}{t}\right\}$。
这可以看作是 $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ 的一个缩放版本。令 $\frac{\sin(t)}{t} = c \cdot \frac{\sin(\pi at)}{\pi at}$。通过比较系数，我们发现 $c=1$ 且 $\pi a = 1$，所以 $a=1/\pi$。即 $\frac{\sin(t)}{t} = \pi \cdot \frac{\sin(\pi (t/\pi))}{\pi (t/\pi)} = \pi \cdot \text{sinc}(t/\pi)$。
利用缩放性质 $\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right)$，其中 $f(t) = \text{sinc}(t)$ 且 $F(\omega) = \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$。对于 $\text{sinc}(t/\pi)$， $a=1/\pi$。
$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t/\pi)\right\} = \frac{1}{|1/\pi|} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi(1/\pi)}\right) = \pi \cdot \text{rect}\left(\frac{\omega}{2}\right)$。
所以，对于非归一化sinc函数 $\frac{\sin(t)}{t}$，其傅里叶变换是：
$\mathcal{F}\left\{\frac{\sin(t)}{t}\right\} = \mathcal{F}\left\{\pi \cdot \text{sinc}(t/\pi)\right\} = \pi \cdot \pi \cdot \text{rect}\left(\frac{\omega}{2}\right) = \pi^2 \text{rect}\left(\frac{\omega}{2}\right)$
这里的 $\text{rect}\left(\frac{\omega}{2}\right)$ 表示一个在角频率 $\omega \in [-1, 1]$ 范围内值为 1 的矩形函数。所以非归一化sinc函数的傅里叶变换是幅度为 $\pi^2$、带宽为 2 的矩形。
如果我们将非归一化sinc定义为 $\text{sinc}_{unnorm}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$，那么 $\mathcal{F}\{\text{sinc}_{unnorm}(t)\} = \pi \cdot \text{rect}\left(\frac{\omega}{2}\right)$（这个结果取决于傅里叶变换的定义，这里用 $\mathcal{F}\{\frac{\sin(at)}{t}\} = \pi \cdot \text{rect}(\frac{\omega}{2a})$ 这个常见公式，取 $a=1$）。
重点： 改变sinc函数的定义（归一化与否）会直接影响其傅里叶变换结果的幅度和宽度。
傅里叶变换约定的影响
傅里叶变换的定义形式有很多种，常见的有：
- $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$, $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$ (本文使用的约定)
- $F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi f t} dt$, $f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(f) e^{j2\pi f t} df$ (对称形式，使用频率 $f$)
- $F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$, $f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$ (对称形式，使用角频率 $\omega$)
如果使用约定 2 (使用频率 $f$)：
我们知道 $\mathcal{F}_{\omega}^{-1}\left\{\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\right\} = \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$。令 $\omega = 2\pi f$，则 $\frac{\omega}{2\pi} = f$。频域函数变为 $\text{rect}(f)$。逆变换公式为 $f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(f) e^{j2\pi f t} df$。
所以，$\mathcal{F}_{f}^{-1}\{\text{rect}(f)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \text{rect}(f) e^{j2\pi f t} df = \int_{-1/2}^{1/2} e^{j2\pi f t} df$。
计算积分：
$\int_{-1/2}^{1/2} e^{j2\pi f t} df = \left[ \frac{e^{j2\pi f t}}{j2\pi t} \right]_{-1/2}^{1/2} = \frac{e^{j\pi t} – e^{-j\pi t}}{j2\pi t} = \frac{2j\sin(\pi t)}{j2\pi t} = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = \text{sinc}(t)$
因此，在使用约定 2 时，$\mathcal{F}_{f}^{-1}\{\text{rect}(f)\} = \text{sinc}(t)$。根据傅里叶变换和逆变换的关系，这意味着 $\mathcal{F}_{f}\{\text{sinc}(t)\} = \text{rect}(f)$。
在使用频率 $f$ 的对称约定 (约定 2) 时：$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \text{rect}\left(f\right)$
如果使用约定 3 (使用角频率 $\omega$，对称形式)：
逆变换公式为 $f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$。为了得到 $\text{sinc}(t)$，我们需要的频域函数 $G(\omega)$ 满足 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} G(\omega) e^{j\omega t} d\omega = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$。
我们知道 $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot e^{j\omega t} d\omega = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$。所以需要 $G(\omega)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 内的值满足 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} G(\omega) = \frac{1}{2\pi} \cdot 1$，即 $G(\omega) = \frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$。在范围外为 0。
所以，在这种约定下，$\mathcal{F}_{\omega}^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\right\} = \text{sinc}(t)$。
根据变换与逆变换的关系，$\mathcal{F}_{\omega}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$。
在使用角频率 $\omega$ 的对称约定 (约定 3) 时：$\mathcal{F}\left\{\text{sinc}(t)\right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$
总结不同约定的影响：
sinc函数的定义（归一化与否）以及傅里叶变换的定义约定（使用 $f$ 或 $\omega$，以及前面的常数因子）都会影响最终变换结果的幅度和频域变量。在查阅文献或使用不同软件时，务必明确其所采用的sinc函数定义和傅里叶变换约定，以免造成混淆。尽管形式不同，但核心关系——sinc函数对应矩形频谱——是不变的。
结论
sinc函数的傅里叶变换是一个矩形函数，这是一个极其重要且基础的傅里叶变换对。我们探讨了sinc函数的定义、其变换结果的具体形式，以及为何会出现这种“时域分散-频域集中”的对应关系。通过利用傅里叶变换的对偶性，可以相对简便地推导出这一变换关系。这一变换对在理想滤波器设计、信号采样与重建、窗函数分析以及光学衍射等多个领域有着核心的应用。同时，我们也详细讨论了sinc函数的缩放性质如何影响其频谱的宽度，以及不同sinc函数定义和傅里叶变换约定如何导致结果形式上的差异。深入理解sinc函数及其傅里叶变换，是掌握信号处理和许多相关领域理论与实践的关键。
